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嚴老師講義 

這一節我們繼續介紹相對論帶來的另外兩個神奇效果。

第一個叫做尺縮效應，顧名思義，就是一把相對著地面在運動著的尺子，長度會在尺子運動的方向上縮短。這里的縮短，要再強調一下，是地面上的觀察者測量到的尺子長度會變短。但是如果尺子上有另一個觀察者的話，它測量到的尺子長度還是原來的長度，因為相對於尺子上的觀察者來說，尺子並没有運動。

而且相對於地面上的觀察者來說，尺子只是在它運動的方向上縮短了，垂直於運動方向的長度不會改變。如果一個正方形在沿著它的一條邊的方向運動，它就會變成一個長方形。如果正方形是沿著它的一條對角線運動的話，它就會變成一個菱形。接下來讓我們看看這個神奇的效果是怎麼做到的。

1. 如何定義尺子的長度

仍然用一個思維實驗來解決這個問題。既然是要測量尺子的長度，那就要先定義一下，尺子的長度在不同的參考系種是怎麼量出來的。

1.1 地面上怎麼測量尺子長度？

假設這個時候愛因斯坦站在地面上不動，他可以這樣測量尺子的長度：當尺子的頭部經過愛因斯坦的時候，他記錄下一個時間，與此同時，在尺子的頭部做一個記號；當尺子的尾部經過他的時候，他也記錄下一個時間，並在尺子的尾部也做一個記號。這樣的話對於愛因斯坦來說，他量出來的尺子的長度，其實就是他記錄下來的兩個時間差，乘以尺子的運動速度。

1.2 尺子上怎麼測量尺子長度？

再來看看站在尺子上的普朗克，他要如何去測量尺子的長度？剛才說了，地面上的愛因斯坦在尺子的頭部和尾部都做了記號，那麼對於尺子上的普朗克來說，他只要也記錄下愛因斯坦做這兩個記號的時間差，再乘以愛因斯坦相對於他的速度，其實也就是這根尺子的速度，就可以了。最后再去比較這兩個時間差之間的關系，就可以得出尺子的長短到底變化了多少。

2. 尺縮效應的推導

2.1 回顧鐘慢效應

根據上一節我們講鐘慢效應的過程，直覺上能感覺到，這個時間差在普朗克和愛因斯坦看來，肯定是不一樣的。類比上一節課鐘慢效應的結論，對於愛因斯坦來說，他給尺子的頭部和尾部做記號這兩個事件，是在同一個地方發生的，因為他自己的位置没有變。但是對於尺子上的普朗克來說，愛因斯坦在頭部和尾部做記號這兩件事，不是在同一個地方發生的。

這是不是很像上一節做的鐘慢效應的思維實驗？在鐘慢效應里，光從地板上射出再回到探測器這兩件事，對於愛因斯坦來說是在同一個地方發生的。但是由於火車在移動，對於普朗克來說，這兩件事不是在一個地方發生的。所以前后發生的兩件事，如果對於一個觀察者來說是在同一個地方發生的，他測量出來的時間，一定比另一個看這兩件事不在同一個地方發生的觀察者，測量出來的時間要短。

同理，對於剛才測量尺子長度的實驗，地面上的愛因斯坦所用的時間，肯定也没有尺子上的普朗克用的時間長。因為給尺子頭部和尾部做記號這兩件事，對於愛因斯坦來說是在一個地方發生的，而對於普朗克來說不是。

2.2 長度就是用速度乘以時間

有了愛因斯坦做記號的時間差比普朗克看到記號的時間差要短這個結論，我們就知道：愛因斯坦測量到的尺子的長度，一定比普朗克測量出來的更短。

因為愛因斯坦的時間差更短，而尺子的長度被定義為尺子運動的速度乘以兩個記號的時間差。這就是尺縮效應，對於一個觀察者來說，任何一個運動的物體，在它運動方向上的長度會縮短。

2.3 尺縮效應解釋宇宙射線

上一節我們講到，地球上能夠接受到很多壽命很短的粒子形成的宇宙射線。根據鐘慢效應，因為粒子運動速度快，所以對於地球上的觀察者來說，粒子的壽命變短，足夠支撐它們穿越大氣層來到地球表面。我們現在變換到粒子的參考系，看看這件事情該怎麼解釋？

假設你現在是宇宙射線中一個壽命很短的粒子，你在自己的參考系里，看自己的壽命還是很短，但是你又能穿越大氣層到達地球表面，恰恰是因為尺縮效應。由於地球相對於你的速度很快，大氣層到地球表面的這段距離，對於你來說大大縮短了，你在衰變之前還是可以到達地球表面。

3. 相對速度的變化

3.1 伽利略變換中的速度疊加

狹義相對論的第二個神奇效果，就是我們在第一節提到的相對速度的例子。再來回顧一下，愛因斯坦在機場傳送帶上走路，傳送帶速度是10m/s，愛因斯坦相對於傳送帶的速度是1m/s；普朗克站在傳送帶外的地面上，問普朗克看愛因斯坦的速度是多少？伽利略變換給出的答案很簡單，就是兩個速度相加，10+1=11，單位是m/s。但是我們現在已經學習了鐘慢效應和尺縮效應了，這個答案就不那麼顯而易見了。

3.2 相對速度會變小

如果愛因斯坦在傳送帶上走了1秒鐘的時間，他就走了1米的距離。然而由於尺縮效應和鐘慢效應，這個1米在普朗克看來是不到1米的，這1秒鐘在普朗克看來也不止1秒鐘。速度等於距離除以時間，現在分子比1米小，分母比1秒大，所以可以很快得出結論：普朗克看愛因斯坦相對於傳送帶的速度肯定不到1m/s，普朗克看愛因斯坦的總速度肯定也不到11m/s。

3.3 光速真的不變

還有更神奇的，回顧一下愛因斯坦打開手電筒的思維實驗。手電筒的光相對於愛因斯坦是速度光速，如果按照伽利略變換，普朗克會發現他測量到的光速要比愛因斯坦測量到的光速大。但是如果按照相對論的速度疊加的方法去計算的話，會發現普朗克測量到的光速，和傳送帶上愛因斯坦測量到的光速是完全一樣的，這就剛好符合光速不變的基本假設，狹義相對論也就完美的自圓其說了。