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嚴老師講義 

這一節的目標是幫助你理解全世界最廣為人知的物理學方程——質能方程，E=mc²，也就是能量等於質量乘以光速的平方。這個方程到底在說什麼？它又是怎麼來的？光速為什麼無法超越？

在理解質能方程之前，要先介紹一下相對論中另外一個特殊的效果。那就是一個運動的物體相對於地面上的觀察者來說，它的質量會變大。這一相對論效應的證明過程比較復雜，但我們還是可以嘗試理解一下。

1. 動量守恒
1.1 動量的定義
首先我們要介紹物理學當中的一個重要概念——動量。什麼是動量呢？簡單來說，一個物體的質量乘以它的速度，就是這個物體的動量。可以粗略地認為，一個物體動量的大小，正比於要讓這個運動的物體停下來的難易程度。很顯然，一個物體的速度越快，就越難讓它停下來，比如超速的汽車不容易刹車。而在速度一樣的情況下，質量越大，也越難停下來，一輛時速100公里的大貨車肯定要比一輛時速100公里的小轎車更不容易停下來。所以動量的公式寫出來的就是質量乘以速度。

1.2 動量守恒
關於動量有一條鐵律，叫做動量守恒定律。說的是一個物理系統，在没有外力的作用下，不管這個系統內部發生怎樣的相互作用，碰撞也好，融合也好，整個系統的動量從頭到尾不會發生變化。

比如一個小球，質量是小m，運動的速度是v，它撞向一個質量是M的大球，大球的速度是V。第一種情況，兩個小球是很光滑的，撞完之后，又各自分開，獲得了兩個不同的速度，小球的速度從v變成了v1，大球速度從V變成了V1。那麼動量守恒告訴我們，不管v1和V1具體是多少，碰撞之后的總動量，mv1+MV1一定等於碰撞前的總動量，mv+MV。

同樣，假設兩個小球之間粘了一個口香糖，碰撞之后它們不再分開，獲得了一個共同的速度V2，那麼碰撞之后的總動量mV2+MV2，也一定等於mv+MV。因為如果把這兩個小球當成一個整體，這個整體在碰撞前后是不受外力作用的，動量一定守恒。

其實與這兩個小球黏在一起相反的過程動量也是守恒的。比如有一個大球M，以速度V在運動，它里面裝了炸藥，炸藥爆炸以后M分裂成了兩個小球，質量分别是m1和m2，速度分别是v1和v2。這種情況下，不管這幾個數值具體是多少，一定滿足MV=m1v1+m2v2。因為大球爆炸前后，系統的整體不受外力作用。

2. 質量為什麼會增加？
有了動量守恒的知識之后，就可以解釋為什麼運動著的物體質量會增加。

2.1 還是思維實驗
我們想象這樣一個物理過程：假設有一個大球M，它正以速度v相對於地面的觀察者普朗克運動。大球上也有一個觀察者，還是愛因斯坦，他相對於大球M是不動的。這個時候愛因斯坦在大球上放了個炸彈，並操控它突然爆炸，炸成了大小相同的兩個小球向兩邊飛出。並且它們飛出去的時候，相對於愛因斯坦的速度都是v，愛因斯坦相對於普朗克的速度保持不變，還是原來的v。

對於地面上的普朗克來說，左邊這個小球由於爆炸后獲得了向左的速度v，剛好抵消了原來作為大球的一部分向右運動的速度v。所以對於普朗克來說，這個小球就停下來了，速度為0。再看另一個向右運動的小球，它相對於愛因斯坦來說有一個向右的運動速度v，但這個時候普朗克看這個小球的速度，可就不是2v了。參考上一節介紹的考慮相對論效應后的速度疊加，跟之前講過的傳送帶的問題是一樣的。所以大球爆炸后，向右運動的小球相對於普朗克的速度，是小於2v的。

2.2 動量守恒定律
到這里就可以用動量守恒了，整個系統由於没有受到外力的作用，爆炸前和爆炸后相對於普朗克的動量應該是不變的。爆炸前的動量是大球的質量乘以大球的速度，等於Mv。爆炸之后，左邊的小球停了下來，速度是零，所以對動量没有貢獻。但是右邊那個滑塊，質量假設是m，速度比2v要小，如果動量要守恒的話，就可以得出一個結論：m的質量要大於M的一半。

而在不考慮相對論效應的情況下，M炸成兩個質量相等的小塊，每個小塊的質量應該精確地等於M的一半，現在卻發現大於M的一半，所以運動的物體質量會增大的結論就這樣得出來了。

3. 質能方程是怎麼來的？
既然已經知道了運動的物體質量會增大，就能推導出愛因斯坦著名的質能方程，E=mc²。

3.1 經典力學中的動能
中學時我們都學過動能這個概念。在牛頓體系中，用力對一個物體做功，推著它走一段距離，這個物體的動能就會增加。有了對於動能的定義之后，結合牛頓第二定律，再加上簡單的微積分，就可以推導出動能的表達式，動能等於質量乘以速度的平方再除以2。在經典力學中，物體的動能就是這個形式。

3.2 相對論里質量不是恒定的
在經典力學里，質量是不變的。而上面已經證明了，隨著物體的速度加快，質量也會變大。所以如果真要完整地表達一個物體的能量，我們必須把質量的增加計算進去。如果把質量隨著速度的變化代入動能的公式，再進行一個相對復雜的微積分操作，就很容易得出，一個物體的總能量，E=mc²，這里的m是考慮了相對論效應之后的質量。

3.3 質能方程告訴了我們什麼？
質能方程告訴了我們一件很重要的事：能量即質量，質量即能量。它們是同一事物的兩種表現形式，並且可以互相轉化。雖然現代實驗室里只看到過質量轉化成能量的情況，而能量轉化成質量的過程還不太明晰，但是不難發現，把質量轉化成能量的過程，釋放出的能量是極其巨大的。

簡單算一下就知道，光速是一個非常大的數字，3乘以10的8次方，再平方一下，就是9乘以10的16次方。即便只有一公斤的質量，全部轉化成能量可以釋放出9萬萬億焦耳，足夠燒開兩百億噸開水。值得一提的是，原子彈和氫彈的爆炸之所以威力如此巨大，就是利用了質能方程，把質量轉化成了能量。

4. 光速為什麼不可超越？
掌握了質能方程以后，來看看它的一個重要推論：光速是不可超越的。

4.1 速度越大能量越大
當我們給一個粒子加速的時候，隨著它的速度越來越快，質量也越來越大。現在不妨把質量隨著速度增加而增加的公式寫出來。不難發現，當速度跟光速比很小的時候，質量的變化幾乎可以忽略。但是當速度越來越接近光速，分母上的數值就越來越接近0，整個質量就會越來越接近無窮大。

最后，當物體的速度無限接近光速的時候，物體的總質量就會趨向於無窮大。但是很顯然，自然界不可能有無限大的能量，因此，永遠不可能讓一個靜止時質量不為零的物體加速到光速。

4.2 靜質量和動質量
除非你的靜止質量也是零，這樣在分子、分母都為0的情況下，整個表達式有可能給出一個有限的值。這就是光本身可以達到光速的原因，因為光没有靜止質量，它運動起來的速度必須是光速。在極小篇中，我們會提到的一種粒子，叫做膠子，它的靜止質量也是零，所以它的運動速度就是光速。

總結：
愛因斯坦的狹義相對論只有一條以不變應萬變的原理，就是光速不變原理：在任何一個參考系中，不論運動速度是多少，測量得到的光速都是一個不變的值。

由光速不變原理，我們推論出了很多神奇的效應。比如鐘慢效應：運動越快，時間流逝的速度越慢；尺縮效應：運動越快，長度越短；還有運動越快，質量越大。通過這些結論，可以直接推導出愛因斯坦的質能方程E=mc²。它告訴我們，能量和質量是一回事，是同一事物的兩面，並且任何物體的運動速度都無法超越光速。

相對論還告訴我們，時間和空間不是相互獨立，而是相互關聯的，運動狀態決定了時間的變化。

所以為什麼叫相對論，它揭示了在我們這個宇宙中，一切觀測結果都要指明是相對於誰而言的，並没有絕對的存在。